Resonanzerscheinungen - Schwingkreise

1 Freie Schwingung
L/M

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2 Numerische Lösung der Differentialgleichung mit einem C Programm
S

Für die numerische Lösung ist die Gleichung 1. Ordnung, also die mit der Ladung q(t) besser geeignet.

Der einfachste Ansatz ist, in der DG den Differentialquotienten in einen Differenzenquotienten umzuschreiben.
L Δi/Δt + R i(t) + q(t)/C = Û·sin(ωt + φ)
das ergibt dann:
Δi = [Û·sin(ωt + φ) - R i(t) - q(t)/C ]·Δt / L
Das ist schon die Iterationsformel. Nach jedem Δt ändert sich der Strom um Δi:
i := i + Δi

Zusätzlich muss man die Änderung der Ladung bzw. Spannung am Kondensator berechnen.
uc := uc + i*Δt/C

Pseudocode:

	Eingabe der Daten: L, R, C, Quelle: umax, f oder T und phi
	Eventuell Kenndaten des ungedämpften Systems berechnen
	Schrittweite für die Iteration festlegen
	t = 0
	weitere Anfangswerte setzen
	Datei für Ausgabe öffnen
	Wiederhole
	{
		uq = uqt(t, Umax, omega, phi);
		Zeit, Strom, angeleget Spannung uq(t), (weitere Spannungen auf Datei (und Bildschirm) ausgeben
		di = (uq - uc - R*i)*dt/L;
		t += dt;
		uc += i*dt/C;
		i += di;
	} Solange t < tmax    (tmax = 3-5 T)
	Ausgabedatei schliessen
   

Für die Darstellung des Resultats importiert man die Tabelle (Vorsicht: Dezimalpunkt) in einer Tabellenkalkulation und stellt die Zeitfunktionen in einem Diagramm dar.

3 Serienschwingkreis
M

Im 3. Punkt geht es darum, einmal zu überlegen, wo denn die Maximalwerte des Betrages der Spannungen am L und am C liegen. Diese Spannungen heben sich bei der Kennfrequenz auf, die Maxima liegen aber bei den Frequenzen:

help3a.png

UC erreicht also den maximalen Betrag etwas unterhalb der Kenn/Resonanz-Frequenz. Für UL liegt diese Frequenz oberhalb der Resonazfrequenz.

Das auszurechnen ist ein kleine Übung in Sachen Extremwertaufgaben, wobei man einige Vereinfachungen machen kann.

Man geht von einer konstanten angelegten Spannung U aus, die die Phase 0° hat.

Für UL entwicklet man einen Ausdruck für |U/UL|2, das ist der einfachere Ausdruck als dessen Kehrwert. und verwendet die Kenndaten ω0 und ω1 = R/L = 2 δ. Den Ausdruck muss man dann ableiten und Nulll setzen. Es genügt, den Zähler zu betrachten. Die Lösung der Gleichung ergibt den Ausdruck von oben.

Für UC ist der Ausdruck |UC/U|2 nicht besonders schwer und aufwendig abzuleiten. Es ergibt sich die Formel für die Frequenz, bei der Uc sein Maximum erreicht.

4 Realer Parallelschwingkreis
M

Auch das eine Aufgabe, bei der man vorteilhaft eine Tabellenkalkulation verwendet. Deshalb hier eine kleine Einführung in Excel für Techniker.

Formeln und Namen definieren

Bekanntlich kann man in einer Tabellenkalkulation Zellwerte aus anderen Zellwerten berechnen. Man bezieht sich in einer Formel auf andere Zellwerte durch relative, gemischte odeer absolute Bezüge, z.B. in der Schreibweise C4, $C4, C$4 oder $C$4. Mehr braucht man im Prinzip nicht, ABER die Formlen sind schlecht lesbar!

Deshalb kann ich nur dringend empfehlen, mit Zellnamen zu arbeiten.

Formel-Menü in Excel 2016

Mit "Formeln anzeigen" sichtbar gemachte Formeln in den Zellen

Grün hinterlegte Zellen sind Zellen für die Werte der Aufgabe (die Beispielparameter) , d.h. diese Zellen enthalten keine Formeln.

Für erlaubte Namen gibt es Regeln: Nicht erlaubt sind die üblichen Zellnamen (A1, Z1S2, ...), leider ist auch R (für row) und C (für column) reserviert. Mehr dazu in der Hilfe zu Excel. Namen kann man für einzelne Zellen, aber auch für Zellbereiche verwenden. Ein Name für eine einzelne Zelle ist natürlich immer ein absoluter Bezug. Sehr vorteilhaft kann man Zellnamen für eine Auswahl von Werten in einer Spalte oder in einer Zeile verwenden. Diese Namen verhalten sich dann wie ein gemischter Bezug oder wie ein eindimensionales Array (Vektor).

Die in den Formeln verwendeten Namen:

 

Schön ist, dass man den Gültigkeitsbereich von Namen jetzt auch auf ein Tabellenblatt einschränken kann (Bereich), wobei das in dem Beispiel keine Rolle spielt.

Tabelle und Formeln für die Diagramme

Ziel ist hier, Diagramme für Betrag und Phase einer Schwingungsamplitude so zu zeichnen, wie sie in der Literatur zur erzwungenen Schwingung dargestellt werden.

Es soll eine Schar von Kurven für unterschiedliche Dämpfung gezeichnet werden.

 

Die im Diagramm verwendete Kreisfrequenz wird über die Hilfsspalte links als Vielfaches der Kennfrequenz w0 berechnet. Dann folgen mehrere Spalten für unterschiedliche Gp Werte. Gp, Cp und Lp sind Namen für einen "Zeilenvektor". Deshalb sind die Formeln in allen Spalten gleich.

Ziel: So sollen die beiden Diagramme für Betrag ind Phase ausschauen!

 

5 Widerstandstransformation
M

Der Zweipol soll bei f = 10 kHz eine Impedanz von (50 + j 0 ) Ohm haben. Rp = 1 kOhm.

BildAC13d

Man hat hier 2 zu bestimmende Grüßen, L und C. Man hat aber auch zwei Gleichungen, die Bedingung für den Realteil von Z und die für den Imagimärteil.

Aus Re{Z} = 50 Ohm ergibt sich C, ...

6 Filter
M

Siehe die Hinweise zum Bodediagramm aus der Übung Frequenzverhalten.

7 Filter
M

Rechnerisch ist das etwas aufwendig. Man kann die Schaltung aber auch mit SPICE simulieren und dort die Resultate über den Cursor im Bodediagramm herauslesen.

Aufgaben

Lösung