Rotation 1. Teil

Viele mechanische Hilfsmittel und Maschinen verwenden rotierende Teile, man denke insbesondere an das Rad, eine der wichtigsten Erfindungen der Menschheit. Bei einer Rotation (Drehbewegung) dreht sich ein Gegenstand um eine oft fixe Drehachse. Wie bei der Translation will man die Position des Körpers als Funktion der Zeit beschreiben. Dazu denkt man sich eine Markierung auf dem rotierenden Körper und beschreibt deren Position. Sinnvollerweise beschreibt man die Position dieser Markierung nicht mit kartesischen Koordinaten, sondern mit Polarkoordinaten.

Polarkoordinaten geben die Lage eines Punktes durch den Abstand r vom Mittelpunkt (hier dem Drehpunkt) und den Winkel φ bezüglich einer Bezugsachse an. Der Winkel wird in der Regel im Bogenmaß (in Radiant) angegeben. Bei einer Rotation bleibt der Radius für einen bestimmten Punkt immer gleich, das heißt es genügt eigentlich der Drehwinkel φ. Der Drehwinkel φ bei der Rotation entspricht dem Weg s bei der Translation.

1 Definitionen: Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Für die Rotation definiert man völlig analog zur Translation die sogenannte Winkel­geschwindig­keit ω und die Winkelbeschleunigung α.

  1. Wie ist ω und α definiert?
  2. Wie lautet die Funktion φ(t) für eine Drehbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und einem Anfangswinkel von φ0?

2 Frequenz, Umlaufzeit und Drehzahl

Statt der Winkelgeschwindigkeit verwendet man oft die Drehzahl oder Frequenz. Frequenz (Einheit 1/s = 1 Hz) ist die typische Einheit für periodische Vorgänge, sie gibt an, wie oft sich etwas pro Sekunde wiederholt. Auch die Drehbewegung ist ein periodischer Vorgang, weil nach einer vollen Umdrehung wieder die gleiche Situation gegeben ist. Bei der Drehbewegung ist Frequenz f die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde (Zeiteinheit). Drehzahl ist im Prinzip das Gleiche, nur wird die Drehzahl n meist in Umdrehungen pro Minute angegeben.

Umlaufzeit oder Periodendauer T ist die Zeit für eine Umdrehung (einen Umlauf).

  1. Wie lautet die Formel für den Zusammenhang zwischen ω und f?
  2. Wie lautet die Formel für den Zusammenhang zwischen f und T?

3 Rotierendes Rad

Ein Rad macht pro Sekunde 4 Umdrehungen. Berechne ω, f, T und n!

4 Uhr

  1. Berechne die Winkelgeschwindigkeit des Stunden- und Minutenzeigers einer Uhr. Gib das Resultat in 1/min an.
  2. Wieviel Minuten nach 2 Uhr überdecken sich der Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr? (Schätzung und Rechnung!).

5 Beschleunigte Drehbewegung

  1. Wie schaut das ω(t) Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Drehbewegung aus?
  2. Ein aus dem Stillstand anlaufendes Rad führt in der zweiten Sekunde [ 1s, 2s ] 16 Um­drehungen aus.
  3. Wie groß ist seine Winkelbeschleunigung?

6 f, ω, v, Übersetzungsverhältnis

Die 28 " - Räder eines Rennrades  ( 1 " = 25.4 mm) drehen sich mit einer Frequenz von 5 Hz.

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Räder und die Geschwindigkeit des Radfahrers? Welches Übersetzungsverhältnis liegt vor, wenn die Trittfrequenz 85 1/min beträgt ?