Lösungen

Bemerkungen, Legende:

Indizes, also z.B.die 1 in Z1 werden nicht tiefgestellt

Alle Größen sind komplexe Zahlen, der Name ist hier nicht unterstrichen

Z[name] .... die komplexe Impedanz des enstprechenden Bauelements bei der geg. Frequenz, Z[L] = jωL, Z[C] = -j/ωC

Y[name] .... die komplexe Admittanz des enstprechenden Bauelements bei der geg. Frequenz, Y[C] = jωC, Y[L] = -j/ωL

1 1 A Methode
L
Z1 = Z[R1]+Z[C1] = (10 - j 22) Ω = 24,12 Ω ∠ -65,5°
I1 = (1 + j 0) A = 1 A ∠ 0°
U1 = Z1*I1 = (10 - j 22) V = 24,12 V ∠ -65,5°
I2 = U1/Z[L2] = (-1,16 - j 0,531) A = 1,28 A ∠ -156°
I12 = I1+I2 = (-165 - j 531) mA = 555,5 mA ∠ -107°
U3 = I12*Z[C3] = (-16,9 + j 5,24) V = 17,68 V ∠ 163°
U = U3+U1 = (-6,89 - j 16,7) V = 18,08 V ∠ -112°
I4 = U/Z[R4] = (-68,9 - j 167) mA = 180,8 mA ∠ -112°
I = I12+I4 = (-233 - j 698) mA = 735,7 mA ∠ -109°
Z = U/I = (24,5 - j 1,67) Ω = 24,57 Ω ∠ -3,9°
Umrechung auf U = 230 V
I1 = (-4,85 + j 11,8) A = 12,72 A ∠ 112°
U1 = Z1*I1 = (210 + j 224) V = 306,9 V ∠ 46,9°
I2 = U1/Z[L2] = (11,9 - j 11,1) A = 16,28 A ∠ -43,1°
I12 = I1+I2 = (7,04 + j 0,635) A = 7,068 A ∠ 5,2°
U3 = I12*Z[C3] = (20,2 - j 224) V = 225 V ∠ -84,8°
U = U3+U1 = (230 + j 0) V = 230 V ∠ 0°
I4 = U/Z[R4] = (2,3 + j 0) A = 2,3 A ∠ 0°
I = I12+I4 = (9,34 + j 0,635) A = 9,361 A ∠ 3,9°
Zeigerdiagramm
2 Impedanz und Zeigerdiagramm
L
Z1 = Z[R1]+Z[C1] = (10 - j 22) Ω = 24,12 Ω ∠ -65,5°
Y1 = 1/Z1 = (17,2 + j 37,7) mS = 41,45 mS ∠ 65,5°
Y2 = Y[L2] = (0 - j 53,1) mS = 53,05 mS ∠ -90°
Y12 = Y1+Y2 = (17,2 - j 15,3) mS = 23,03 mS ∠ -41,7°
Z12 = 1/Y12 = (32,4 + j 28,9) Ω = 43,43 Ω ∠ 41,7°
Z123 = Z12+Z[C3] = (32,4 - j 2,93) Ω = 32,54 Ω ∠ -5,2°
Y123 = 1/Z123 = (30,6 + j 2,76) mS = 30,73 mS ∠ 5,2°
Y = Y123+Y[R4] = (40,6 + j 2,76) mS = 40,7 mS ∠ 3,9°
Z = 1/Y = (24,5 - j 1,67) Ω = 24,57 Ω ∠ -3,9°
U = (230 + j 0) V = 230 V ∠ 0°
I = U*Y = (9,34 + j 0,635) A = 9,361 A ∠ 3,9°
I4 = U*Y[R4] = (2,3 + j 0) A = 2,3 A ∠ 0°
I3 = U*Y123 = (7,04 + j 0,635) A = 7,068 A ∠ 5,2°
U3 = I3*Z[C3] = (20,2 - j 224) V = 225 V ∠ -84,8°
U1 = I3*Z12 = (210 + j 224) V = 306,9 V ∠ 46,9°
I1 = U1*Y1 = (-4,85 + j 11,8) A = 12,72 A ∠ 112°
I2 = U1*Y2 = (11,9 - j 11,1) A = 16,28 A ∠ -43,1°
I3' = I1+I2 = (7,04 + j 0,635) A = 7,068 A ∠ 5,2°
U' = U3+U1 = (230 + j 0) V = 230 V ∠ 0°
Zeigerdiagramm
3 Wechselstromleistung
L

a) S = U·I* = (2147 - j 146) VA; P = 2150 W, Q = 146 VAr, S = 2153 VA
b) R1: P = I2*R1 = 1618 W; R4: P = U2/R4 = 529 W; Summe der beiden Leistungen = 2147 W

c) C1: Q = - 3554 VAr; L2: Q = 4998 VAr; C3 : Q = - 1590 VAr; Summe: - 146 VAr

4 Serienschwingkreis
M,S
  1. L ~ 40 mH; C ~ 40 µF
  2. ---
  3. Ist i(t) = Îcosωt, dann ist Emag(t) = ½L·i(t)2 = 1,6 mJ cos2(ωt) und uc(t) = ½C·uc(t)2 = 0,6 mJ sin2(ωt)
    Bild4c
  4. Leistung am Widerstand
    Bild4b
  5. Das ist der vermultich schwierige Teil der Aufgabe.
    In c betrachten wir, welche Energie in J zum Zeitpunkt t im magnetischen Feld der Spule und im elektrischen Feld des Kondensators stecken. Die Maximalwerte dieser Energien sind hier unterschiedlich groß (1.6 mJ gegen ca. 0,62 mJ). Die beiden Energien erreichen zeitversetzt ihre Maximalwerte. Das ist das Wesen eines schwingungsfähigen Systems. Eine Energie pendelt zwischen zwei Energieformen. Weil die beiden Maximalwerte nicht gleich groß sind, ist die Gesamtenergie aus Emag und Eel hier nicht konstant. D.h. zwischen 0 und 1,25 ms liefert der Schwingkreis die überschüssige Energie aus der Spule an den treibenden Generator. Zwischen 1,25 und 2,5 ms muss sich das System die jetzt fehlende Energie wieder zurückholen. D.h. die Differenz zwischen der maximalen Energie im el. und magn. Feld pendelt zwischen der Quelle und dem Schwingkreis hin und her und ist zeitlich gemittelt schon nach einer halben Periode Null. Diese Änderung der Gesamtenergie, umgerechnet auf eine Leistung q(t) = dE/dt ergibt den zeitlichen Verlauf des gemischten Teiles der Momentanleistung s(t), aus dem dann die Blindleistung Q wird.
    dE/dt = i(t)*(uL(t) + uC(t)) = Imax*cos(ωt)*(UCmax-ULmax)*sin(ωt)
    Bild4e
5 Serienschwingkreis im Resonanzfall
L --- Excel-Datei zu den Aufgaben 4 und 5