Lösungen

Bemerkungen, Legende:

Indizes, also z.B. die 1 in Z1 werden nicht tiefgestellt

Alle Größen sind komplexe Zahlen, der Name ist hier nicht unterstrichen

Z[name] .... die komplexe Impedanz des enstprechenden Bauelements bei der geg. Frequenz, Z[L] = jωL, Z[C] = -j/ωC

Y[name] .... die komplexe Admittanz des enstprechenden Bauelements bei der geg. Frequenz, Y[C] = jωC, Y[L] = -j/ωL

1 Sternschaltung im Vierleitersystem, unsymmetrische Belastung
L

Z1 = 50 Ω

Z2 = (40 + j 20) Ω

Z3 = 40 + j 5) Ω

I1 = U1/Z1 = ( 4,62 +j 0) A = 4,62 A / 0°
I2 = U2/Z2 = (-4,31 -j 2,85) A = 5,17 A / -142°
I3 = U3/Z3 = (-2,23 +j 5,28) A = 5,73 A / 113°
In = I1+I2+I3 = (-1,92 +j 2,43) A = 3,1 A / 110°

Zeigerdiagramm
2Sternschaltung im Dreileitersystem, unsymmetrische Belastung
L

Z1 = Z[R1] = ( 50 +j 0) Ω = 50 Ω / 0°
Z2 = Z[R2]+Z[L2] = ( 40 +j 20) Ω = 44,7 Ω / 26,6°
Z3 = Z[R3]+Z[L3] = ( 40 +j 5) Ω = 40,3 Ω / 7,1°

Sternpunktspannung: UN = (-35,8 +j 30,4) V = 47 V / 140°
I1 = U10*Y1 = ( 5,34 -j 0,608) A = 5,37 A / -6,5°
I2 = U20*Y2 = (-3,9 -j 3,81) A = 5,45 A / -136°
I3 = U30*Y3 = ( -1,44 +j 4,42) A = 4,65 A / 108°
Kontrolle: In = I1+I2+I3 = ( 0 +j 0) A = 0 A / 0°

 

Octave-M-File dazu: example2.m

Zeigerdiagramm
3 Dreieckschaltung, unsymmetrische Belastung
L

Z12 = given as = ( 40 +j 10) Ω = 41,2 Ω / 14°
Z23 = given as = ( 47 +j 17,1) Ω = 50 Ω / 20°
Z31 = given as = ( 59,1 +j 10,4) Ω = 60 Ω / 10°

I12 = U12/Z12 = ( 9,33 +j 2,67) A = 9,7 A / 16°
I23 = U23/Z23 = (-2,74 -j 7,52) A = 8 A / -110°
I31 = U31/Z31 = (-5,11 +j 4,29) A = 6,67 A / 140°
I1 = I12-I31 = ( 14,4 -j 1,62) A = 14,5 A / -6,4°
I2 = I23-I12 = (-12,1 -j 10,2) A = 15,8 A / -140°
I3 = I31-I23 = (-2,37 +j 11,8) A = 12 A / 101°
I0 = I1+I2+I3 = ( 0 +j 0) A = 0 A / 0°
I12s = ~I12 = ( 9,33 -j 2,67) A = 9,7 A / -16°
I23s = ~I23 = (-2,74 +j 7,52) A = 8 A / 110°
I31s = ~I31 = (-5,11 -j 4,29) A = 6,67 A / -140°
S12 = U12*I12s = ( 3,76 +j 0,941) kVA = 3,88 kVA / 14°
S23 = U23*I23s = ( 3,01 +j 1,09) kVA = 3,2 kVA / 20°
S31 = U31*I31s = ( 2,63 +j 0,463) kVA = 2,67 kVA / 10°
S = S12+S23+S31 = ( 9,4 +j 2,5) kVA = 9,72 kVA / 14,9°

Zeigerdiagramm
4 L3-Leitungsunterbrechung
M ohne Lösung
5 Brennholzsäge mit Stern-Dreieckschaltung
M

Dreieckschaltung:

Die Scheinleistung je Strang ist 600 VA / 3 = 200 VA.
Bei einer Strangspannung von 400 V ergibt das einen Strangstrom von 0,50 A. Die Leiterströme sind √3 mal größer, das sind 0,87 A.

Diesen Strom erhält man auch über die Formel S = √3 U I für symmetrische Belastung, in der ja U die Leiter-Leiterspannung (400 V) ist und I der Strom in einem Leiter.

Der Betrag der Strangimpedanz ist Z = 800 Ω.

Sternschaltung:

Bei Sternschaltung liegt die Leiter-Erde Spannung an diesen Impedanzen, das ergibt einen Leiterstrom von 231 V / 800 Ω = 0,29 A, das ist nur 1/3 des Stromes bei Dreieckschaltung und ergibt auch nur 1/3 der Leistung.

Zitat (Wikipedia): Eine Stern-Dreieck-Anlaufschaltung (kurz Y-Δ-Schaltung) dient dazu, größere Drehstrommotoren mit Kurzschlussläufer mit reduzierter Leistungsaufnahme anlaufen zu lassen. Dies vermeidet das Auslösen von Überstromschutzeinrichtungen aufgrund des sonst hohen Anlaufstroms bei direktem Anlauf in Dreieckschaltung.

6 L1L2-Fehler
S

Das Knotenpunktpotentialverfahren ergibt folgende Gleichungen für die Potentiale an den Anschlusspunkten 1, 2 und 3:

Bild

Die Lösung des Gleichungssystems liefert für die Potentiale:

V(1) = 131,9 V / -27,2 °

V(2) = 128,6 V / -88,3 °

V(1) = 225,0 V / 122,9 °

Das stimmt mit dem Resultat einer SPICE Simulation überein.