Ortskurven

Hinweise:

Eine Ortskurve stellt die Abhängigkeit einer komplexen Größe von einem Parameter p, meist der Frequenz f in der komplexen Zahlenebene dar.

Verfolgt man die Spur eines komplexen Zeigers Z(f), die sich durch Änderung von f im Bereich 0 bis ∞ ergibt, so ergibt das die Ortskurve.

Zur manuellen Konstruktion einer Ortskurve ist für ausgewählte Werte des Parameters die komplexe Funktion zu berechnen. Die Punkte werden in der komplexen Zahlenebene eingezecihnet und mit dem Parameter beschriftet. Zudem ist an einer Stelle neben der Kurve anzugeben, was hier dargestellt wird und mit einem Pfeil die Richtung anzugeben.

Bei der klassischen manuellen graphischen Konstruktion wird das schrittweise nach dem Berechnungsplan durchgeführt, den man auch für die Berechnung bei nur einer Frequenz anwenden würde. Für das Beispiel 1 würde das bedeuten:

1) Berechne und konstruiere Y₁(f) = 1/R₁ + j ωC₁ , das ergibt eine Gerade.

2) Berechne und konstruiere Z₁(f) = 1/Y₁(f) , das ergibt einen Halbkreis

3) Berechne und konstruiere Z(f) = Z₁ + R₂ (durch verschieben des Nullpunktes um den Wert von R₂ nach links)

Für die manuelle graphische Inversion muss man wissen:

• Bei der Inversion ändert sich der Betrag r einer komplexen Zahl auf 1/r, der Winkel φ ändert sich auf - φ.
• Die Inversion einer Geraden, die nicht durch den Ursprung geht, ergibt einen Kreis.

• Bei Ortskurven in der Impedanzebene gelangt man durch Inversion in die Admittanzebene, d.h. man benötigt zwei Maßstäbe, einen für die Impedanzen in Ω (kΩ, ....) und einen für die Admittanzen in S (mS, µS). Um das zu verhindern, kann man auch alle Y-Werte mit einem geeigneten r² mit der Einheit Ω² multiplizieren. (Siehe dazu die Lösungshinweise).
• Um sich die Spiegelung an der reellen Achse zu sparen, ist es oft klug, mit der konjugiert Komplexen zu arbeiten. Für das 1. Beispiel bedeutet das:
  1) Y₁^* = 1/R₁ - j ωC₁
  2) Z₁ = 1/Y₁^*
  3) Z = Z₁ + R₂

1	Ortskurve Z(f)
L	R1 = 5 Ω C1 = 50 µF R2 = 2 Ω Konstruiere die Ortskurve für Z(f) oder Z(ω)!
2	Ortskurve Z(f)
L	R1 = 5 Ω C1 = 50 µF R2 = 2 Ω L2 = 200 µH Konstruiere die Ortskurve für Z(f) oder Z(ω)!
3	Ortskurve Z(f)
M	R1 = 4 Ω L1 = 4 mH C2 = 50 µF R2 = 8 Ω Konstruiere die Ortskurve für Z(f) oder Z(ω)!
4	Leitungsgerade
M	Thema der Schutztechnik ist der Schutz der Anlagen zur Erzeugung und Verteilung der elektrischen Energie. Bei Überlast oder Überspannungen ist es wichtig, Anlagenteile, also z.B. eine Freileitung abzuschalten. Eine wichtige Rolle spielt dabei das Distanzschutzrelais. Es kann bei einem Fehler auf der Leitung erkennen, wo sich der Fehler befindet. Die Impedanz der intakten Leitung in der Impedanzebene mit der Distanz (Leitungslänge) zur Schutzeinrichtung ergibt eine Gerade. Zeiche für eine Paralleldrahtleitung deiner Wahl diese Leitungsgerade.
5	Tabellenkalkulation oder andere Applikationssoftware
M	So wertvoll für das Verständnis einige manuelle Konstruktionen sind, man wird solche Aufgaben früher oder später mit geeigneter Software lösen. Neben spezieller Software für die Simulation von elektrischen Netzwerken (wie PSPICE), ist auch eine Tabellenkalkulation dafür geeignet. ad Beispiel 3: 1. Spalte: f 2. Spalte Re{Z1} 3. Spalte Im{Z1} 4. Spalte Re{Y1} 5. Spalte Im{Y1} ... Dabei muss man jeweils Formeln für den Real- und den Imaginärteil in einer Zeile eingeben und dann nach unten dublizieren. Jetzt bringt es keine Vorteile mehr, mit konjugiert komplexen Zwischenresultaten zu arbeiten, es sei denn man will eine Darstellung, die der manuellen Lösung entspricht.

Lösungshinweise

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